(PUC - 1970) Sendo , e vértices de um triângulo, então este triângulo é:
a) triângulo retângulo e não isósceles b) triângulo retângulo e isósceles c) triângulo equilátero d) triângulo isósceles não retângulo e) nenhuma das respostas anteriores
(D)
(ITA - 1977) Seja p um plano. Sejam A , B , C e D pontos de p e M um ponto qualquer não pertencente a p . Então:
a) se C dividir o segmento em partes iguais a , então o segmento é perpendicular a p b) se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então o segmento é perpendicular a p . c) se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então implica que o segmento é perpendicular a p . d) se ABC for um triângulo equilátero e o segmento for perpendicular a p , então D é equidistante de A , B e C . e) nenhuma das respostas anteriores.
(C)
(UFPR - 1980) Calculando a distância de um ponto do espaço ao plano de um triângulo equilátero de 6 unidades de comprimento de lado, sabendo que o ponto equidista 4 unidades dos vértices do triângulo, obtém-se:
a) 6 unidades. b) 5 unidades. c) 4 unidades. d) 3 unidades. e) 2 unidades.
(E)
(UFMG - 1992) Observe a figura.
Nessa figura, , bissetriz de , bissetriz de e a medida do ângulo é . A medida do ângulo , em graus, é:
a) 20 b) 30c) 40 d) 50e) 60
(C)
(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:m, m, m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a) m b) mc) m d) me) m
Considerações:" A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.
A distância é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto vale (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício Resolução:O triângulo é semelhante ao triângulo pois possuem o ângulo comum e os ângulos e são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais. corresponde à
Alternativa D
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a , e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de , então, a área lateral da pirâmide mede, em ,
a) b) c) d) e)
Considerações: Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura de cada triângulo equilátero em função do seu lado é (veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 e a área do hexágono é
Resolução: Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área
1. calcular :cm 2. calcular a altura da pirâmide :A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é , então a altura do cilindro é .O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale . 3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ():Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento , que define o triângulo retângulo reto no ângulo .Pelo Teorema de Pitágoras: 4. Calcular a área lateral da pirâmide:A área de uma face da pirâmide é A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = que corresponde à
alternativa(A)
A altura do triângulo equilátero de lado cm. mede:
a) cm b) cm c) cm d) cm e) cm
(E)
Resolução:
Conforme a figura, no triângulo equilátero de lado 3 cm é traçada a altura , que é perpendicular a e divide o segmento no seu ponto médio .Considerando-se o triângulo retângulo , temos: hipotenusa : cateto : cateto : e pelo Teorema de Pitágoras: o valor é satisfeito pela alternativa (E). Observações: ●É importante verificar nas respostas se a unidade de medida confere: centímetros. ●Para unidades de medida-distância consideramos apenas os valores positivos. ●Para quem vai prestar concurso é importante memorizar que a altura de um triângulo EQUILÁTERO de lado é igual a .
Dê a expressão da altura de um triângulo equilátero em função da medida do lado do triângulo.
Resolução: No triângulo da figura:
ou
Resposta:
O apótema da base de um prisma triangular regular mede e a área lateral mede . Calcular a altura do sólido.
Resolução: 1. a base é um triângulo equilátero, então: altura do triângulo da base apótema e 2. Área lateral = Sendo temos que Resposta:
Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².
Considerações:
Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo). aresta da base = altura do prismaárea da base, o triângulo equilátero Resolução:1. Sabemos que a área lateral é igual a A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura) . então 2. Área da base: (área do triângulo equilátero de lado em função da medida do lado do triângulo vale ) Então 3. Área total:
A altura de um triângulo equilátero de lado 4 cm é:
O lado de um triângulo equilátero é igual à altura de um segundo. Qual a razão de semelhança na ordem dada?
Determinar a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 1 cm.
Na figura, é um quadrado de lado e é um triângulo equilátero. Determinar a medida de .
(FEI) O triângulo ABC é equilátero; D e E são os pontos médios de BH e CH. Comparar as áreas do retângulo DHEM com do retângulo DEGF.
a) são iguais b) < c) > d) dependem da medida do lado do triângulo e assim pode ser qualquer das anteriores. e)
(A)
(MACKENZIE) Os pontos A (0 , 0) e B (1 , 0) são vértices de um triângulo equilátero ABC , situado no QUADRANTE. O vértice C é dado por:
a) b) c) d) e) nenhuma das alternativas anteriores
(B)
(MACKENZIE - 1977) Se a soma das áreas dos três círculos de mesmo raio é , a área do triângulo equilátero ABC é:
a) b) c) d) e) não sei
(A)
(FESP - 1991) Um triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio igual a 6 cm. O triângulo é interceptado por um diâmetro de circunferência, formando um trapézio, conforme a figura abaixo. Podemos afirmar então que a razão entre a área do triângulo ABC e a do trapézio é igual a: